(1) "Kolmekymmentä kaksikymmentä on viisikymmentä ja kahdeksan tekee viisikymmentäkahdeksan. Sitten kuusi on kuusikymmentäneljä ";
(2) "Kolmekymmentä kaksikymmentä on viisikymmentä, ja kahdeksan ja kuusi on neljätoista. Kymmenen alkaen neljätoista tekee kuusikymmentä, joten se on kuusikymmentäneljä ";
(3) "Kolmekymmentäkahdeksan plus kaksikymmentäkuusi on kuin neljäkymmentä ja kaksikymmentäneljä, joka on kuusikymmentäneljä.
" Heidän tutkimuksessaan, Carpenter ym. (1998) havaitsivat, että 65% opiskelijoista otoksensa oli käyttänyt keksitty strategia ennen standardin algoritmeja opetettiin. Loppuun mennessä niiden tutkimuksen, 88% niiden näytteestä oli käyttänyt keksitty strategioita jossain vaiheessa heidän kolmen ensimmäisen vuoden koulussa.
He totesivat myös, että opiskelijat, jotka käytetty keksi strategioita ennen kuin he oppivat standardi algoritmeja osoitettu parempi tuntemus pohja-ten määrä käsitteitä ja onnistuivat laajentamaan tietämystään uusiin tilanteisiin kuin oli opiskelijoita jotka aluksi oppinut standardin algoritmeja.
Viime aikoina jotkut tutkijat (esim, Ben-Chaim et al., 1998; Cai, 2000) ovat löytäneet todisteita, että Lähi koulun oppilaat pystyvät käyttämään keksitty strategioita ongelmien ratkaisemiseksi.
Esimerkiksi kun Yhdysvaltojen ja Kiinan kuudennen luokan oppilaat pyydettiin onko jokainen tyttö tai kukin poika saa enemmän pizzaa kun seitsemän tyttöä jakaa kaksi pizzat ja kolme poikaa jakaa yksi pizza yhtä, he käyttivät kahdeksan eri oikea tapoja perustella, että jokainen poika saa enemmän kuin jokainen tyttö (Cai, 2000).
Yhdessä edellä mainitut tutkimukset paitsi osoittavat, että opiskelijat pystyvät keksiä omat strategiansa ratkaista ongelmia, mutta ne osoittavat myös, että on mahdollista käyttää opiskelijoiden keksitty strategioita parantaa matematiikasta.
Näin ollen vaikuttaa selvältä, että opiskelijat peruskoulun ja yläasteen pystyvät keksiä omat strategiansa ongelmien ratkaisemiseksi. On kuitenkin olemassa ainakin kaksi vastaamattomia kysymyksiä.
Jätetyt kysymykset liittyvät liikkeeseen 1. Ensimmäinen kysymys liittyy opiskelijoiden keksitty strategioita. Luokkahuoneissa ongelmakeskeisen-pohjainen kysely (esim, Carpenter ym., 1998; Cobb et ai.
, 1991), opiskelijat saavat mahdollisuuksia käyttää ja neuvotella vaihtoehtoisista strategioista ongelmien ratkaisemiseksi ennen kuin opeteta